વિધેય $\frac{1}{1+\cot x}$ નું સંકલન કરો.
ધારો કે $I = \int \frac{1}{1+\cot x} dx$.
$= \int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} dx$
$= \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$.
ધારો કે $\sin x+\cos x = t$,તેથી $(\cos x-\sin x) dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $(\sin x-\cos x) dx = -dt$.
તેથી,$I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{-dt}{t}$
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
$= \int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} dx$
$= \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$.
ધારો કે $\sin x+\cos x = t$,તેથી $(\cos x-\sin x) dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $(\sin x-\cos x) dx = -dt$.
તેથી,$I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{-dt}{t}$
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
Explore More
Similar Questions
$\int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ ની કિંમત શું થાય?
DifficultAP EAMCET 2001
View Solutionજો $\int {\frac{{dx}}{{{x^3}{{\left( {1 + {x^6}} \right)}^{2/3}}}} = xf\left( x \right){{\left( {1 + {x^6}} \right)}^{\frac{1}{3}}} + C} $ જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક હોય,તો વિધેય $f(x)$ બરાબર શું થાય?
DifficultJEE MAIN 2019
View Solutionધારો કે $\int {{\sec }^{ - 1}}\left[ { - {\sin }^2x} \right]dx = f(x) + C$,($x \neq 0$ માટે માન્ય) જ્યાં $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે અને $f(0) = 0$ છે. તો $x = 2$ આગળ ${\left( {f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} \right)} \right)''}$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $'$ એ વિકલન દર્શાવે છે).
જો $\int(\sin x )^{\frac{-11}{2}}(\cos x )^{\frac{-5}{2}} dx = -\frac{p_1}{q_1}(\cot x)^{\frac{9}{2}}-\frac{p_2}{q_2}(\cot x)^{\frac{5}{2}}-\frac{p_3}{q_3}(\cot x)^{\frac{1}{2}}+\frac{p_4}{q_4}(\cot x)^{\frac{-3}{2}}+C,$ જ્યાં $p_i$ અને $q_i$ એ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $\operatorname{gcd}(p_i, q_i)=1$ છે $i =1,2,3,4$ માટે અને $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે, તો $\frac{15 p_1 p_2 p_3 p_4}{q_1 q_2 q_3 q_4}$ ની કિંમત . . . . . . છે.
DifficultJEE MAIN 2026
View Solutionધારો કે $I_n = \int \tan^n x dx, (n > 1)$. જો $I_4 + I_6 = a \tan^5 x + b x^5 + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ શું થાય?
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo